"Be'er-lahai-roi" (the well of the Living One who sees). The well was named after the angel, who lives forever, whom the Holy One, blessed be He, sent to behold grievances. "Behold, it is between Kadesh and Bered." Therefore the angel appeared to her and blessed her, in the merit of Abraham, who sanctified the name of the Holy One, blessed be He, and went down into the fiery furnace for His sake.
Why Hagar's Well Was Named for the Living Angel Who Sees
Midrash Aggadah, Genesis 16:14
באר לחי ראי. נקרא שם הבאר על שם המלאך שהוא חי לעולם ששלחו הקב"ה לראות עלבונות: הנה בין קדש ובין ברד. לכך נראה לה המלאך וברכה בזכות אברהם שקידש שמו של הקב"ה, וירד לכבשן האש בעבורו: